排列、组合、二项式定理-基本原理

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　　例1  书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．

　　（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

　　（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？

　　（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？

　　（让学生思考，要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由，教师巡视指导，并适时口述解法）

　　（1）从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法；第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法；第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法．根据加法原理，得到的取法种数是

N＝m₁＋m₂＋m₃＝3＋5＋6＝14．故从书架上任取一本书的不同取法有14种．

　　（2）从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法；第二步取1本语文书，有5种方法；第三步取1本英语书，有6种方法．根据乘法原理，得到不同的取法种数是N=m₁×m₂×m₃=3×5×6=90．故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法．

　　（3）从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类办法：第一类办法是数学书、语文书各取1本，需要分两个步骤，有3×5种方法；第二类办法是数学书、英语书各取1本，需要分两个步骤，有3×6种方法；第三类办法是语文书、英语书各取1本，有5×6种方法．一共得到不同的取法种数是N=3×5＋3×6＋5×6=63．即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种．

　　例2  由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数（各位上的数字允许重复）？

　　解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=4×5×5=100．

　　答：可以组成100个三位整数．

　　教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题能力有所提高．教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础.

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（四）归纳小结

　　归纳什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理：

　　分类时用加法原理，分步时用乘法原理．

　　应用两个基本原理时需要注意分类时要求各类办法彼此之间相互排斥；分步时要求各步是相互独立的．

（五）课堂练习

　　P222：练习1～4．

　　（对于题4，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示）

（六）布置作业

　　P222：练习5，6，7．

补充题：

　　1．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个？

　　（提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45个个位数字小于十位数字的两位数）

　　2．某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数．

　　（提示：需要按三个志愿分成三步，共有m（m-1）（m-2）种填写方式）

　　3．在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？

　　（提示：可以用下面方法来求解：（1）△△□，（2）△□△，（3）□△□，（1），（2），（3）类中每类都是9×9种，共有9×9+9×9+9×9=3×9×9=243个只有两个数字相同的三位数）

　　4．某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，（1）从中任选一个会外语的人，有多少种选法？（2）从中选出会英语与会日语的各1人，有多少种不同的选法？

　　（提示：由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既会英语又会日语．

（1）N=5＋2＋3；（2）N=5×2＋5×3＋2×3）

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