高中数学 函数概念
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高中数学 函数概念,
数学 函数
反函数
就关系而言,一般是双向的 ,函数也如此 ,设y=f(x)为已知的函数,若对每个y∈Y,有唯一的x∈X,使f(x)=y,这是一个由y找x的过程 ,即x成了y的函数 ,记为x=f -1(y)。称f -1为f的反函数。习惯上用x表示自变量 ,故这个函数仍记为y=f -1(x) ,例如 y=sinx与y=arcsinx 互为反函数。在同一坐标系中,y=f(x)与y=f -1(x)的图形关于直线y=x对称。
隐函数
若能由函数方程 F(x,y)=0 确定y为x的函数y=f(x),即F(x,f(x))≡0,就称y是x的隐函数。
思考:隐函数是否为函数?因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一”
多元函数
设点(x1,x2,…,xn) ∈GÍRn,UÍR1 ,若对每一点(x1,x2,…,xn)∈G,由某规则f有唯一的 u∈U与之对应:f:G→U,u=f(x1,x2,…,xn),则称f为一个n元函数,G为定义域,U为值域。
基本初等函数及其图像 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。
①幂函数:y=xμ(μ≠0,μ为任意实数)定义域:μ为正整数时为(-∞,+∞),μ为负整数时是(-∞,0)∪(0,+∞);μ=(α为整数),当α是奇数时为( -∞,+∞),当α是偶数时为(0,+∞);μ=p/q,p,q互素,作为的复合函数进行讨论。略图如图2、图3。
②指数函数:y=ax(a>0 ,a≠1),定义成为( -∞,+∞),值域为(0 ,+∞),a>0 时是严格单调增加的函数( 即当x2>x1时,) ,0<a<1 时是严格单减函数。对任何a,图像均过点(0,1),注意y=ax和y=()x的图形关于y轴对称。如图4。
③对数函数:y=logax(a>0), 称a为底 , 定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞) 。a>1 时是严格单调增加的,0<a<1时是严格单减的。不论a为何值,对数函数的图形均过点(1,0),对数函数与指数函数互为反函数 。如图5。
以10为底的对数称为常用对数 ,简记为lgx 。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数,即自然对数,记作lnx。
④三角函数:见表2。
正弦函数、余弦函数如图6,图7所示。
⑤反三角函数:见表3。双曲正、余弦如图8。
⑥双曲函数:双曲正弦(ex-e-x),双曲余弦(ex+e-x),双曲正切(ex-e-x)/(ex+e-x) ,双曲余切( ex+e-x)/(ex-e-x)。
在数学领域,函数是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个(可能相同的)集合里的唯一元素(这只是一元函数f(x)=y的情况,请按英文原文把普遍定义给出,谢谢)。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。
术语函数,映射,对应,变换通常都是同一个意思。
二次函数
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量,y是x的函数
二次函数的三种表达式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)] 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)</CA>
交点式:y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A(x? ,0)和 B(x?,0)的抛物线]
其中x1,2= -b±√b^2-4ac
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量,y是x的函数
二次函数的三种表达式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)] 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)</CA>
交点式:y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A(x? ,0)和 B(x?,0)的抛物线]
其中x1,2= -b±√b^2-4ac
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
www.350xue.com 当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
一次函数
I、定义与定义式:
自变量x和因变量y有如下关系:
y=kx+b(k,b为常数,k≠0)
则称y是x的一次函数。
特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。
II、一次函数的性质:
y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
即 △y/△x=k
III、一次函数的图象及性质:
1. 作法与图形:通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线,可以作出一次函数的图象——一条直线。因此,作一次函数的图象只需知道2点,并连成直线即可。
2. 性质:在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。
3. k,b与函数图象所在象限。
当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
当b>0时,直线必通过一、二象限;当b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图象。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。
IV、确定一次函数的表达式:
已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:
y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。
(3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
V、一次函数在生活中的应用
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数学 函数
反函数
就关系而言,一般是双向的 ,函数也如此 ,设y=f(x)为已知的函数,若对每个y∈Y,有唯一的x∈X,使f(x)=y,这是一个由y找x的过程 ,即x成了y的函数 ,记为x=f -1(y)。称f -1为f的反函数。习惯上用x表示自变量 ,故这个函数仍记为y=f -1(x) ,例如 y=sinx与y=arcsinx 互为反函数。在同一坐标系中,y=f(x)与y=f -1(x)的图形关于直线y=x对称。
隐函数
若能由函数方程 F(x,y)=0 确定y为x的函数y=f(x),即F(x,f(x))≡0,就称y是x的隐函数。
思考:隐函数是否为函数?因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一”
多元函数
设点(x1,x2,…,xn) ∈GÍRn,UÍR1 ,若对每一点(x1,x2,…,xn)∈G,由某规则f有唯一的 u∈U与之对应:f:G→U,u=f(x1,x2,…,xn),则称f为一个n元函数,G为定义域,U为值域。
基本初等函数及其图像 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。
①幂函数:y=xμ(μ≠0,μ为任意实数)定义域:μ为正整数时为(-∞,+∞),μ为负整数时是(-∞,0)∪(0,+∞);μ=(α为整数),当α是奇数时为( -∞,+∞),当α是偶数时为(0,+∞);μ=p/q,p,q互素,作为的复合函数进行讨论。略图如图2、图3。
②指数函数:y=ax(a>0 ,a≠1),定义成为( -∞,+∞),值域为(0 ,+∞),a>0 时是严格单调增加的函数( 即当x2>x1时,) ,0<a<1 时是严格单减函数。对任何a,图像均过点(0,1),注意y=ax和y=()x的图形关于y轴对称。如图4。
③对数函数:y=logax(a>0), 称a为底 , 定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞) 。a>1 时是严格单调增加的,0<a<1时是严格单减的。不论a为何值,对数函数的图形均过点(1,0),对数函数与指数函数互为反函数 。如图5。
以10为底的对数称为常用对数 ,简记为lgx 。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数,即自然对数,记作lnx。
④三角函数:见表2。
正弦函数、余弦函数如图6,图7所示。
⑤反三角函数:见表3。双曲正、余弦如图8。
⑥双曲函数:双曲正弦(ex-e-x),双曲余弦(ex+e-x),双曲正切(ex-e-x)/(ex+e-x) ,双曲余切( ex+e-x)/(ex-e-x)。
在数学领域,函数是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个(可能相同的)集合里的唯一元素(这只是一元函数f(x)=y的情况,请按英文原文把普遍定义给出,谢谢)。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。
术语函数,映射,对应,变换通常都是同一个意思。
二次函数
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量,y是x的函数
二次函数的三种表达式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)] 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)</CA>
交点式:y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A(x? ,0)和 B(x?,0)的抛物线]
其中x1,2= -b±√b^2-4ac
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量,y是x的函数
二次函数的三种表达式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)] 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)</CA>
交点式:y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A(x? ,0)和 B(x?,0)的抛物线]
其中x1,2= -b±√b^2-4ac
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
www.350xue.com 当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
一次函数
I、定义与定义式:
自变量x和因变量y有如下关系:
y=kx+b(k,b为常数,k≠0)
则称y是x的一次函数。
特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。
II、一次函数的性质:
y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
即 △y/△x=k
III、一次函数的图象及性质:
1. 作法与图形:通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线,可以作出一次函数的图象——一条直线。因此,作一次函数的图象只需知道2点,并连成直线即可。
2. 性质:在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。
3. k,b与函数图象所在象限。
当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
当b>0时,直线必通过一、二象限;当b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图象。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。
IV、确定一次函数的表达式:
已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:
y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。
(3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
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