上学期2.5 指数

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教学目标：

　　1．理解 次方根和 次根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算．

　　2．通过对根式的学习，使学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力．

　　3．通过对根式的化简，使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想．

教学重点难点：

　　重点是 次方根的概念及其取值规律．

　　难点是 次方根的概念及其运算根据的研究．

教学用具：投影仪

教学方法：启发探索式．

教学过程：

一.    复习引入

　　今天我们将学习新的一节指数．指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展．

　　下面从我们熟悉的指数的复习开始．能举一个具体的指数运算的例子吗?

　　以 为例，是指数运算要求学生指明各部分的名称，其中2称为底数，4为指数， 称为幂．

　　教师还可引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义． ．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出 及 ，同时追问这里 的由来．最后将三条放在一起，用投影仪打出整数指数幂的概念

2．5指数(板书)

　　1.       关于整数指数幂的复习

　　(1)    概念

　　既然是一种运算，除了定义之外，自然要给出它的运算规律，再来回顾一下关于整数指数幂的运算性质．可以找一个学生说出相应的运算性质，教师用投影仪依次打出： 

　　(2)    运算性质： ; ;

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　　复习后直接提出新课题，今天在此基础上把指数从整数范围推广到分数范围．在刚才的复习我们已经看到当指数在整数范围内时，运算最多也就是与分式有关，如果指数推广到分指数会与什么有关呢?应与根式有关．初中时虽然也学过一点根式，但不够用，因此有必要先从根式说起．

　　2.       根式(板书)

　　我们知道根式来源于开方，开方是乘方的逆运算，所以谈根式还是先从大家熟悉的乘方说起．

　　如

　　如果给出了4和2进行运算，那就是乘方运算．如果是知道了16和2，求4即 ，求?

　　问题也就是： 谁的平方是16 ，大家都能回答是4和-4，这就是开方运算，且4和-4 有个名字叫16的平方根．

　　再如

　　知3和8，问题就是谁的立方是8?这就是开方运算，大家也知道结果为2，同时指出2叫做8的立方根．

　　(根据情况教师可再适当举几个例子，如 ，要求学生用语言描述式子的含义，I再说出结果分别为 和-2，同时指出它们分别称为9的四次方根和-8的立方根)

　　在以上几个式子会解释的基础上，提出 即一个数的 次方等于 ，求这个数，即开 次方，那么这个数叫做 的 次方根．

　　(1) 次方根的定义：如果一个数的 次方等于 ( ，那么这个数叫做

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www.350xue.com 的 次方根．

   (板书)

　　对定义理解的第一步就是能把上述语言用数学符号表示，请同学们试试看．

　　由学生翻译为：若 ( ，则 叫做 的 次方根．(把它补在定义的后面)

　　翻译后教师在此基础上再次提出翻译的不够彻底，如结论中的 的 次方根就没有用符号表示，原因是什么?(如果学生不知从何入手，可引导学生回到刚才的几个例子，在符号表示上存在的问题，并一起研究解决的办法)最终把问题引向对 的 次方根的取值规律的研究．

　　(2) 的 次方根的取值规律： (板书)

　　先让学生看到 的 次方根的个数是由 的奇偶性决定的，所以应对 分奇偶情况讨论

　　当 为奇数时，再问学生

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www.350xue.com 的 次方根是个什么样的数，与谁有关，再提出对 的正负的讨论，从而明确分类讨论的标准，按 的正负分为三种情况．

　　Ⅰ当 为奇数时

 ， 的 次方根为一个正数;

 ， 的 次方根为一个负数;

 ， 的 次方根为零．      (板书)

　　当奇数情况讨论完之后，再用几个具体例子辅助说明 为偶数时的结论，再由学生总结归纳

　　Ⅱ当 为偶数时

 ， 的 次方根为两个互为相反数的数;



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 ， 的 次方根为零．

　　对于这个规律的总结，还可以先看 的正负，再分 的奇偶，换个角度加深理解．

　　有了这个规律之后，就可以用准确的数学符号去描述 次方根了．

　　(3)    的 次方根的符号表示 (板书)

　　可由学生试说一说，若学生说不好，教师可与学生一起总结，当 为奇数时，由于无论 为何值， 次方根都只有一个值，可用统一的符号 表示，此时要求学生解释符号的含义： 为正数，则 为一个确定的正数， 为负数， 则 为一个确定的负数，

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www.350xue.com 为零，则 为零．

　　当 为偶数时， 为正数时，有两个值，而 只能表示其中一个且应表示是正的，另一个应与它互为相反数，故只需在前面放一个负号，写成 ，其含义为 为偶数时，正数的 次方根有两个分别为 和 ．

　　为了加深对符号的认识，还可以提出这样的问题： 一定表示一个正数吗? 中的 一定是正数或非负数吗?让学生来回答，在回答中进一步认清符号的含义，再从另一个角度进行总结 ．对于符号 ，当 为偶数是，它有意义的条件是 ;当 为奇数时，它有意义的条件时

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　　把 称为根式，其中 为根指数， 叫做被开方数．(板书)

　　(4)    根式运算的依据 (板书)

　　由于 是个数值，数值自然要进行运算，运算就要有根据，因此下面有必要进一步研究根式运算的依据．但我们并不过分展开，只研究一些最基本的最简单的依据．

　　如 应该得什么?有学生讲出理由，根据 次方根的定义，可得Ⅰ = ．(板书)

　　再问： 应该得什么?也得 吗?

　　若学生想不清楚，可用具体例子提示学生，如 吗? 吗?让学生能发现结果与 有关，从而得到Ⅱ = ．(板书)

　　为进一步熟悉这个运算依据，下面通过练习来体会一下．

三．巩固练习

　　例1. 求值

　　(1) ．      (2) ．    

　　(3)

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