数感及其培养的探索

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　　数感，是指人们对数、数据和数字系统和其运算等形成的一般理解力，以及灵活应用这种理解力的认知倾向和认知能力。运用数感可以做出明智的数学判断，并开发出应用数和运算法则的有关策略。根据麦金托什等人的分析，数感主要在三个领域起重要作用：一是数据知识和数据的简便性，二是运算知识和运算的简便性，三是把数、运算的知识及其简便性应用到需要用数据进行推理的问题中。
　　大家都经历过这样的教学现象：在明确简便运算要求时，学生都能根据数据的特点运用运算定律进行简便运算，而当在解决实际问题时，有许多学生只知道按一般运算顺序计算，对于有可能简便的却想不到简便计算。这是令许多教师头疼的问题。这种现象，究其实质是学生缺乏自觉简便计算的意识，数感较弱。我觉得其中主要是两方面的原因：一是数据之间的关联意识不够强，因而不能够自动自觉地运用数据之间的关联进行简便计算；二是心算练习较少。平时对稍大数值的计算，为了准确，一般都会要求学生列竖式计算，而竖式计算很少需要学生去考察数据的特点、数据的关联。长此以往，学生在计算时，看到较大的数就习惯性地列竖式计算，很难想到简便计算。
　　反之，如果我们经常注意引导学生探究认识并理解数据之间的关联，经常让学生利用数据之间的关联进行心算，则学生的数感可能就会大大增强。那么他们在计算时，看到一些数据就会自然而然地想到它们之间的关联，以及使之计算简便的相关联的数，从而自动自觉地进行简便计算，而不管是否要求简便计算。
　　这就是说，要善于把按一般计算程序的教学转变为让学生学会辨别数据模式和数量关系，加以积极探究并在两者之间生成联系的教学。只有这样，学生才能逐渐形成对数的洞察力，并对数和数量产生敏锐的“感觉”。因此，笔者认为培养数感的着力点应是培养孩子们对数和数据的关联意识以及心算能力。
　　一、在计数教学中培养对于数的关联意识
　　在教学数的认识时，笔者注重培养学生对数值大小的把握。通过经常性的点数计数，用差比、倍比法比较数之间的大小，强化计数单位的形象感知体验（如十指、一捆小棒、百数表、千数方块等）、动感模拟体验（如拨算珠、跳绳）以及比拟计算想象训练（如对折纸30次，纸厚有多少层楼高，每人一粒米，十三亿粒米够多少人吃多久等）。在此基础上，培养学生间隔计数的数列建构方式。这些计数可以从任意数开始，可以往前数也可以往后数。虽然不同的计数模式最初对学生来说可能都是毫无意义的数列，但是这些数列建构的方式会让他们熟悉隐含着数列规律的数字系统模式。当这些数字模式和算术运算相联系的时候，这些数字模式便能促使学生找到有效的计算策略。
　　笔者是这样教学千以内数的认识的：（1）以100为间隔，从100数到1000，从1000数到100；（2）以50为间隔，从50数到1000，从1000数到50；（3）以20为间隔，从800数到1000，从500数到300；（4）以10为间隔从600数到800，从1000数到800；（5）以5为间隔，从900数到1000，从900数到800；（6）以1为间隔，从180数到220，从710数到690。学习不同的计数模式和计数顺序，有助于培养学生的数感，对计算起到积极的促进作用。
　　对于单个的数，笔者也注重让学生学会以不同的方式进行数的组合。如，28可以由两个数相加减得到：20＋8、10＋18、30－2、40－12，也可以由两个数相乘或相除得到：4×7、14×2、56÷2、84÷3等。再如，125可以写成100＋25、150－25、200－75，也可以写成25×5、1000÷8等。在学生将来学习了小数、百分数之后，还可以再进行相应的扩展联想。运用数之间相互关联联想的方式可以产生不同的可能表达形式及其与不同运算相联系的意义，所有这些在学生建立起数与计算之间的联系中起着至关重要的作用，而数与计算之间的联系又恰巧对数感的形成有着重要的积极影响。

www.350xue.com 　　二、在计算教学中培养对数的转化意识
　　在加法教学中培养学生对数的关联意识，笔者注重引导学生学会通过加数不同数位上数字的变化引起和的变化，以及两个加数的变化、拆分，和始终不变。同样，在减法教学中，笔者注重引导学生学会变化被减数、减数不同数位数字引起差的变化，以及变化、拆分被减数或减数，差却始终不变。建立这种数间的关联关系不仅有助于学生从已知数据事实中推断出新的数据，而且也有助于他们建立新的计算策略。让他们花时间思考同一问题的不同方法，比让他们去计算各不相干的许多问题，其效果要好得多。
　　如，出示算式325＋524，采取小组竞赛的形式，让学生积极联想，写出相关联的算式。大家积极参与，开动脑筋，写出了许多：

　　在此基础上，让学生说出这些算式的关联之处，引导他们将自己的发现与同伴的成果进行比较，分享算式中有关数据增减相联的数量变化，发展数感。
　　三、在计算过程中培养灵活多样的心算策略
　　计算能力的培养不仅需要学生学会笔算的方法，还要学会综合应用心算和估算的方法，从而得到正确的计算结果。对于如何选择合适的计算策略，反思并解释计算的过程和结果而言，心算在其中所起的作用是十分重要的。数感是高度个性化的产物。教给学生多种心算策略，可以使他们根据自身的特点灵活地选用，从而发展数感。
　　如，加法和减法的心算策略主要有：
　　顺序法。顺序法就是保持算式中的一个数不变，然后顺着从大到小的次序逐次加上或减去另一个数的一部分，得到部分和，渐次趋于原来的数，最终完成原式的计算。如325+476的心算：325+400+70+6=801，325+400+75+1=801。
　　十分法。十分法就是拆分算式中的两个数，并根据位值关系计算部分和。如325+476的心算：320+470+5+6=801，300+400+20+70+5+6=801。

www.350xue.com 　　转换形式法。转换形式法就是根据数据的特点进行调整，把计算简化。如，325+476=325+475+1=801。再如，311-214=311-211-3，300-186=299-186+1=114。这样的调整不仅使计算更为简捷，而且也反映出灵活有效的数学思维。
　　目前，言及在计算中培养学生的数感，更多地谈到的是培养学生的估算能力。这是一个认识上的误区。估算反映了学生对实际情境中数及其大小范围的理解和把握。而心算却是运用各种策略直接算出准确得数，心算要求学生对数据的特点非常敏感，数的转换与关联意识非常强，能灵活地运用数据的特点以及数据之间的关联快速简捷地计算。经常性地进行心算练习，学生的数感会大大增强。
　　虽说一般基本的竖式计算是必要的，但学生心算能力的提高却不容忽视。数感除了对于数的大小的把握之外，其要义主要指的就是计算策略中的灵活性和创造性。教学中要减少过分强调没有思维要求的计算程序演绎。虽说现在为了防止学生机械地进行竖式计算，重视理解竖式计算的算理，但学生学会竖式计算后，计算的高度抽象与概括使得他们更多的是机械计算。数学教育家普朗科特认为教授一般基本的笔算方法容易造成“认知的被动性”和“理解的终止”。因为这些方法与人们通常把握数据的思考方式不一样。
　　教材安排的口算，一般都是在竖式之前，只出现较小的数或整十、整百数的加、减、乘、除。对较大的一些数，都是直接教学一般基本的竖式计算。如三位数加减三位数竖式计算，是在两位数加减两位数的基础上直接学习的。这样造成的后果就是看到如325+476的计算题，学生很自然地就习惯于列竖式计算，不需要也不善于考察数的大小及其数据特点，几乎不涉及对于数感的把握，使得计算缺乏灵活性。如果在教学竖式计算之前，先补充进行数的组成和分解的训练，让学生接触这方面的心算技能，在这之后再教学竖式计算，学生在选择算法时，可能就不会只局限在刻板地依照竖式计算了，而会根据数的特点灵活地运用自己喜欢的算法。
　　当我们把计算学习看作是过程和结果相互联系的逻辑结构，而不仅仅是传授和接受计算程序的时候，学生就容易对数具有敏锐的感知，使解题过程具有灵活性和选择性的特征。因此，学生会自主地选择合适的解题方法，并在计算过程中推断问题的实际意义。解题过程中的这种自主意识，将有助于培养学生的数学思维，激发他们解决有关数的计算问题的兴趣，数感和问题解决就有了相互促进的紧密联系。
　　总之，培养数感的过程是循序渐进的，是一个潜移默化的过程。关键是我们平时要有意识地强化有关计算的联系与转化，探索与之相适应的教学内容、教学方法，使学生经过探究和训练，把培养数感的任务落实到具体的教学过程，这样才有利于学生数感的建立和发展。

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