算术平均数与几何平均数（二）

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　　（五）课后点评

　　1．导入新课采用学生比较熟悉的问题为背景，容易被学生接受，产生兴趣，激发学习动机．使得学生学习本节课知识自然且合理．
　　2．在建立新知过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步回忆所学的知识，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构．对有关概念使学生理解难确，尽量以多种形式反映知识结构，使学生在比较中得到深刻理解．
　　3．通过变式训练，使学生在对知识初步理解和掌握后，得到进一步深化，对所学的知识得到巩固与提高，同时反馈信息，调整课堂教学．
　　4．本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．

作业答案

　　思考题 证明：因为 ，所以

．又因为 ， ， ，所以 ， ，所以

　　研究性题  ① ．由条件得 ，…（A）  利用公式 …（B）． 得 ，即 ． ② ．由（A）、（B）之和即得．③ ．可利用 ．再利用①，即可得． ④ ．利用立方和公式得到： ．利用①可得 ．利用①②可得 ．还有 ……

第二课时

　　（－）导入新课

　　（教师活动）1．教师打出字幕（引例）； 2．设置问题，引导学生思考，启发学生应用平均值定理解决有关实际问题．

　　（学生活动）思考、回答教师设置的问题，构建应用平均值定理解决实际问题的思路．

　　［字幕］引例．如图，用篱笆围一块面积为50 的一边靠墙的矩形篱笆墙，问篱笆墙三边分别长多少时，所用篱笆最省？此时，篱笆墙长为多少米？

　　[设问]

　　①这是一个实际问题，如何把它转化成为一个数学问题？

    （学生口答：设篱笆墙长为y，则 （ ）．问

题转化成为求函数y的最小值及取得最值时的 的值．）

　　②求这个函数的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函数的最小值？

　　（学生口答：利用函数的单调性或判别式法，也可用平均值定理．）

　　设计意图：从学生熟悉的实际问题出发，激发学生应用数学知识解决问题的兴趣，通过设问，引导和启发学生用所学的平均值定理解决有关实际问题，引入课题．

　　（二）新课讲授

　　【尝试探索、建立新知】

　　（教师活动）教师打出字幕（课本例题1），引导学生研究和解决问题，帮助学生建立用平均值定理求函数最值的知识体系．

　　（学生活动）尝试完成问题的论证，构建应用平均值定理求函数最值的方法．

　　[字幕]已知 都是正数，求证：

　　（1）如果积 是定值P，那么当 时，和 有最小值 ；

　　（2）如果和 是定值S，那么当 时，积

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　　证明：运用 ，证明（略）．

　　［点评］

　　 ①（l）的结论即 ，（2）的结论即

　　②上述结论给出了一类函数求最值的方法，即平均值定理求最值法．

　　③应用平均值定理求最值要特别注意：两个变元都为正值；两个变元之积（或和）为定值；当且仅当 ，这三个条件缺一不可，即“一正，二定，三相等”同时成立．

　　设计意图：引导学生分析和研究问题，建立新知——应用平均值定理求最值的方法．

　　【例题示范，学会应用】

　　（教师活动）打出字幕（例题），引导学生分析问题，研究问题的解法．

　　（学生活动）分析、思考，尝试解答问题．

　　 [字幕]例题1 求函数 （ ）的最小值，并求相应的 的值．

　　［分析］因为这个函数中的两项不都是正数且 又 与的积也不是常数，所以不能直接用定理求解．但把函数变形为 后，正数 ， 的积是常数1，可以用定理求得这个函数的最小值．

　　解： ，由 ，知 ， ，且 ．当且仅当 ，即 时， （ ）有最小值，最小值是 。

　　[点评] 要正确理解 的意义，即方程 要有解，且解在定义域内．

　　[字幕] 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800 ，深为 3 m，如果池底每l 的造价为 150元，池壁每1 的造价为 120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

　　［分析］ 设水池底面一边的长为 m，水池的总造价为y，建立y关干 的函数．然后用定理求函数y的最小值．

　　解：设水池底面一边的长度为 m，则另一边的长度为 m，又设水池总造价为y元，根据题意，得

（ ）

所以          

　　当 ，即 时，y有最小值297600．因此，当水池的底面是边长为40 m的正方形时．水池的总造价最低，最低总造价是297600元．

　　设计意图：加深理解应用平均值定理求最值的方法，学会应用平均值定理解决某些函数最值问题和实际问题，并掌握分析变量的构建思想．培养学生用数学知识解决实际问题的能力，化归的数学思想．

　　【课堂练习】

　　（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请三位同学板演；巡视学生解题情况，对正确的给予肯定，对偏差进行纠正；讲评练习．

　　（学生活动）在笔记本且完成练习、板演．

　　［字幕〕练习

    A组

    1．求函数 （ ）的最大值．

    2求函数 （ ）的最值．

    3．求函数 （ ）的最大值．

    B组

    1．设 ，且 ，求 的最大值．

    2．求函数 的最值，下面解法是否正确？为什么？

　　解： ，因为 ，则 ．所以

[讲评] A组 1． ； 2． ； 3．

B组 1． ； 2．不正确  ①当 时， ；②当 时， ，而函数在整个定义域内没有最值．

　　设计意图；A组题训练学生掌握应用平均值定理求最值．B组题训练学生掌握平均值定理的综合应用，并对一些易出现错误的地方引起注意．同时反馈课堂教学效果，调节课堂教学．

　　【分析归纳、小结解法】

　　（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结应用平均值定理解决有关函数最值问题和实际问题的解题方法．

　　（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记．

　　1．应用平均值定理可以解决积为定值或和为定值条件下，两个正变量的和或积的最值问题．

　　2．应用定理时注意以下几个条件：（ⅰ）两个变量必须是正变量．（ⅱ）当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值．（iii）当且仅当两个数相等时取最值，即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值．

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