全国初中数学竞赛辅导（初1）第25讲 自测题

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自测题
自测题一
　　甲多开支100元，三年后负
债600元．求每人每年收入多少？ 
　　　　S的末四位数字的和是多少？
　　　　
　　4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程．
　　5．求和

　　6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数．
　　
　　8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除．
　　9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．

自测题二
　　1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋20xx的值．
　　2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件．试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？
　　3．如图1－96所示．已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°．求证：

DA⊥AB．
　　4．已知方程组

　　的解应为

　　一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为

　　求a2＋b2＋c2的值．
　　5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解．
　　6．王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(已知一年期定期储蓄年利率为5.22％)
　　7．对k，m的哪些值，方程组

　　至少有一组解？
　　8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解．
　　9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？
自测题三
　　1．解关于x的方程

　　2．解方程

　　其中a＋b＋c≠0．
　　3．求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和．
　　4．液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72％，求桶的容量．
　　5．满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个？这里[x]表示不超过x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3]=3．
　　6．设P是△ABC内一点．求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围．
　　7．甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离．
　　8．黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到19，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？
　　9．设有n个实数x1，x2，…，xn，其中每一个不是+1就是-1，且

　　求证：n是4的倍数．
自测题四
　　1．已知a，b，c，d都是正数，并且
a＋d＜a，c＋d＜b．
　　求证：ac＋bd＜ab．
　　2．已知甲种商品的原价是乙种商品原价的1.5倍．因市场变化，乙种商品提价的百分数是甲种商品降价的百分数的2倍．调价后，甲乙两种商品单价之和比原单价之和提高了2％，求乙种商品提价的百分数．
　　3．在锐角三角形ABC中，三个内角都是质数．求三角形的三个内角．
　　4．某工厂三年计划中，每年产量递增相同，若第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分数就相同，而且第三年的产量恰为原计划三年总产量的一半，求原计划每年各生产多少台？
　　
　　　
z=｜x+y｜+｜y+1｜+｜x-2y+4｜，
　　求z的最大值与最小值．
　　8．从1到500的自然数中，有多少个数出现1或5？
　　9．从19，20，21，…，98这80个数中，选取两个不同的数，使它们的和为偶数的选法有多少种？
自测题五
　　1．一项任务，若每天超额2件，可提前计划3天完工，若每天超额4件，可提前5天完工，试求工作的件数和原计划完工所用的时间．
　　2．已知两列数
2，5，8，11，14，17，…，2＋(200-1)×3，
5，9，13，17，21，25，…，5＋(200-1)×4，
　　它们都有200项，问这两列数中相同的项数有多少项？
　　3．求x3-3px＋2q能被x2＋2ax＋a2整除的条件．
　　4．证明不等式

　　5．若两个三角形有一个角对应相等．求证：这两个三角形的面积之比等于夹此角的两边乘积之比．
　　6．已知(x-1)2除多项式x4＋ax3-3x2＋bx＋3所得的余式是x+1，试求a，b的值．
　　7．今有长度分别为1，2，3，…，9的线段各一条，可用多少种不同方法，从中选用若干条，使它们能围成一个正方形？
　　8．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的．问：这10条直线最多能把平面分成多少部分？
　　9．边长为整数，周长为15的三角形有多少个？
 　　　　
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