全国初中数学竞赛辅导（初1）第19讲 几何图形的计数问题

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第十九讲* 几何图形的计数问题
　　在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．
　　例1 如图1－65所示，数一数图中有多少条不同的线段？

　　解 对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数：
　　(1)以A为左端点的线段有AB，AC，AD，AE，AF共5条；
　　(2)以B为左端点的线段有BC，BD，BE，BF共4条；
　　(3)以C为左端点的线段有CD，CE，CF共3条；
　　(4)以D为左端点的线段有DE，DF共2条；
　　(5)以E为左端点的线段只有EF一条．
　　所以，不同的线段一共有
5+4+3+2+1=15(条)．
　　一般地，如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)，那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为
n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2
　　例2 图1－66中有多少个三角形？
　　解 以OA为一边的三角形有△OAB，△OAC，△OAD， △OAE，△OAF共5个；以OB为一边的三角形还有4个(前面已计数过的不再数，下同)，它们是△OBC，△OBD，△OBE， △OBF；以OC为一边的三角形有△OCD，△OCE，△OCF共3个；以OD为一边的三角形有△ODE，△ODF共2个；以OE为一边的三角形有△OEF一个．所以，共有三角形
5+4+3+2+1=15(个)．

　　说明 其实，不同的三角形数目等于线段AF中不同线段的条数．一般地，当原三角形的一条边上有n+1个点(包括两端点)时，它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2.
　　例3(1)图1－67中一共有多少个长方形？
　　(2)所有这些长方形的面积和是多少？
　　解(1)图中长的一边有5个分点(包括端点)，所以，长的一边上不同的线段共有
1+2+3+4=10(条)．
　　同样，宽的一边上不同的线段也有10条．

　　所以，共有长方形
10×10=100(个)．
　　(2)因为长的一边上的10条线段长分别为
5，17，25，26，12，20，21，8，9，1，
　　宽的一边上的10条线段长分别为
2，6，13，16，4，11，14，7，10，3．
　　所以，所有长方形面积和为
(5×2+5×6+…+5×3)
+(17×2+17×6+…+17×3)
+…+(1×2+1×6+…+1×3)
=(5+17+…+1)×(2+6+…+3)
= 144×86=12384．
　　例4 图1－68中共有多少个三角形？

　　解 显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类：最大的三角形1个(即△ABC)，
　　第二大的三角形有1+2=3(个)，
　　第三大的三角形有1+2+3=6(个)，
　　第四大的三角形有1+2+3+4=10(个)，
　　第五大的三角形有1+2+3+4+5=15(个)，
　　最小的三角形有
1+2+3+4+5+6+3=24(个)．
　　我们的计数是有规律的．当然，要注意在△ABC外面还有三个最小的尖向上的三角形(左、右、下各一个)，所以最小的三角形不是21个而是24个．
　　于是尖向上的三角形共
1+3+6+10+15+24=59(个)．
　　图中共有三角形
59×2=118(个)．
　　例5 图1－69中有多少个等腰直角三角形？
　　解 图1－69中有
5×5+4×4=41
个点．在每点标一个数，它等于以这点为直角顶点的等腰直角三角形的个数．因此，共有等腰直角三角形
4×8+5×16+6×4+10×4+8×4+11×4+16×1
=268(个)．

　　例6(1)图1－70(a)中有多少个三角形？
　　(2)图1－70(b)中又有多少个三角形？
　　解(1)图1－70(a)中有6条直线．一般来说，每3条直线能围成一个三角形，但是这3条直线如果相交于同一点，那么，它们就不能围成三角形了．

从6条直线中选3条，有

种选法(见说明)，每次选出的3条直线围成一个三角形，但是在图1－70(a)中，每个顶点处有3条直线通过，它们不能围成三角形，因此，共有
20-3=17
个三角形．
　　(2)图1－70(b)中有7条直线，从7条直线中选3条，有
7×6×5/6=35
种选法．每不过同一点的3条直线构成一个三角形．
　　图1－70(b)中，有2个顶点处有3条直线通过，它们不能构成三角形，还有一个顶点有4条直线通过，因为4条直线中选3条有4种选法，即能构成4个三角形，现在这4个三角形没有了，所以，图1－70(b)中的三角形个数是
35-2-4=29(个)．
　　说明 从6条直线中选2条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，共有6×5种选法．但是每一种被重复算了一次， 例如l1l2与l2l1实际上是同一种，所以，不同的选法是6×5÷2=15种．
　　从6条直线中选3条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，第三条有4种选法，共有6×5×4种选法．但是每一种被重复计算了6次，例如，111213，111312，121113，121311，131112，131211实际上是同一种，所以，不同的选法应为6×5×4/6=20种．
　　下面我们利用递推的方法来计算一些图形区域问题．
　　例7 问8条直线最多能把平面分成多少部分？
　　解 1条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面分成4个部分；3条直线最多将平面分成7个部分；现在添上第4条直线．它与前面的3条直线最多有3个交点，这3个交点将第4条直线分成4段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，如图1－71，所以4条直线最多将平面分成7+4=11个部分．

　　完全类似地，5条直线最多将平面分成11+5=16个部分；6条直线最多将平面分成16+6=22个部分；7条直线最多将平面分成22+7=29个部分；8条直线最多将平面分成29+8=37个部分．
　　所以，8条直线最多将平面分成37个部分．
　　说明 一般地，n条直线最多将平面分成

个部分．
　　例8 平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分？

　　解 1个圆最多能把平面分成2个部分；2个圆最多能把平面分成4个部分；3个圆最多能把平面分成8个部分；现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点．如图1－72所示．因此得6个交点，这6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是，4个圆最多将平面分成8+6=14个部分．

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　　所以，5个圆最多将平面分成22个部分．
　　说明 用上面类似的方法，我们可以计算出n个圆最多分平面的部分数为
2+1×2+2×2+…+(n-1)×2
　 　　　　　　　　　　　　　　　=2+2［1+2+…+(n-1)］
　 　　　　　　　　　　　　　　　=n2-n+2．
　　例9 平面上5个圆和一条直线，最多能把平面分成多少个部分？
　　解 首先，由上题可知，平面上5个圆最多能把平面分成22个部分．现在加入一条直线．由于一条直线最多与一个圆有两个交点，所以，一条直线与5个圆最多有10个交点．10个点把这条直线分成了11段，其中9段在圆内，2条射线在圆外．9条在圆内的线段把原来的部分一分为二，这样就增加了9个部分；两条射线把圆外的平面一分为二，圆外只增加了一个部分．所以，总共增加了10个部分．
　　因此，5个圆和1条直线，最多将平面分成22+10=32个部分．
　　例10 平面上5条直线和一个圆，最多能把平面分成多少个部分？
　　解 首先，由例7知，5条直线最多将平面分成16个部分．
　　现在加入一个圆，它最多与每条直线有两个交点，所以，与5条直线最多有10个交点．这10个交点将圆周分成10段圆弧，每一段圆弧将原来的部分一分为二，所以，10段圆弧又把原来的部分增加了10个部分．
　　因此，5条直线和一个圆，最多能把平面分成16+10=26个部分．
　　例11 三角形ABC内部有1999个点，以顶点A，B，C和这1999个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形？

　　解 设△ABC内部的n-1个点能把原三角形分割成an-1个小三角形，我们考虑新增加一个点Pn之后的情况：
　　(1)若点Pn在某个小三角形的内部，如图1－73(a)，则原小三角形的三个顶点连同Pn将这个小三角形一分为三，即增加了两个小三角形；
　　(2)若点Pn在某两个小三角形公共边上，如图1－73(b)．则这两个小三角形的顶点连同点Pn将这两个小三角形分别一分为二，即也增加了两个小三角形．
　　所以，△ABC内部的n个点把原三角形分割成的小三角形个数为
an=an-1+2．
　 易知a0=1，于是
a1=a0+2，a2=a1+2，…，an＝an-1+2．
　 将上面这些式子相加，得
an=2n+1．
　 所以，当n=1999时，三个顶点A，B，C和这1999个内点能把原三角形分割成2×1999+1=3999个小三角形．

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