人教版数学八年级《黄金分割》教学设计

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2　黄金分割
[目标·概览]
通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割，体会其中的文化价值．同时，在应用中，进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中，增强实践意识和自信心．
[思考·交流]
在数学界，一种曲线有几个名称，笛卡儿(1596—1690)称它为等角螺线，哈雷称它为比例螺线，贝努利(1654—1705)称其为对数螺线，贝努利甚至要求后人将这条曲线刻在他的墓碑上!
（1）你能说出作这种曲线的理论依据吗?　　
（2）你能举例说明这种曲线揭示了哪种动物的发育规律吗?
[学法·指津]
　　“黄金分割”和“勾股定理”被称为几何学中的“双宝”，可见它们在几何学中的重要性．“黄金分割”不是真的要分割黄金，它只是一个比喻，意思是分割的比例像黄金一样珍贵．学习本节内容首先必须掌握并理解黄金分割的概念，在此基础上联系线段的比、成比例线段，会求满足黄金分割的线段的长，怎样找黄金分割点，及了解黄金分割在各个领域中的应用价值．
[知识·导学]
　　知识点一：黄金分割
　　点C把线段AB分成四条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
　　知识点二：尺规作图
　　黄金分割数为 .
　　思考交流：在我们的日常生活中，你能说出黄金分割的某些应用吗?
[技巧·解悟]
　　考查黄金分割的定义
　　[例1] 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC >BC，求BC：AC的值.
　　 解析：本题可根据黄金分割的定义解答．
　　 答案：因为点C是线段AB的黄金分割点，且AC > BC，所以.
　　[例2] 已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，若AB＝10 cm，求线段AC的长．
　　 解析：由黄金分割的定义可知AC ：AB＝，又知AB＝10 cm，从而可求出AC的长．
　　 答案：因为点C是线段AB的黄金分割点，且AC > BC，
　　所以.
　　所以 .
所以线段AC的长为 cm.
[拓展·探究]　　
综 合 题
　　[例3]　如图4—2—1，在△ABC中，AB=AC＝2，BC＝，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，试说明点D是线段AC的黄金分割点．
解析　本题是探索结论的正确性，一般从条件出发，根据数形结合的方法，先判断AD＝BD=BC＝-1，再根据黄金分割的概念确定 这个特殊比值，即可说明点D是AC的黄金分割点.
　　答案　在△ABC中，因为AB=AC，∠A=36°，
所以∠ABC=∠C=72°，
因为BD平分∠ABC，所以∠1=∠2=36°
所以∠1=∠A，所以AD=BD.
所以∠BDC=∠1+∠A=72°.
所以，即点D是线段AC的黄金分割点．
　　方法规律：对于这类题目应根据黄金分割点的要求来解答.
应 用 履
　　[例4]　已知点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，设以AP为边的正方形面积为S1，以PB、AB为邻边的矩形的面积为S2，试说明S1＝S2．
解析　由点P是线段AB的黄金分割点，可得，抓住这个定义关系式即可判断S1与S2的关系.
　　答案　因为点P是线段AB的黄金分割点，
　　所以，即AP2=AB·BP.
又S1=AP2，S2=AB·BP，
所以 S1=S2，
经验技巧：抓住黄金分割的关系式解答．
创　新　题
　　[例5]　已知线段a=1，线段b是线段a、c的比例中项，且b为黄金数，求线段c的长.
解析　由b是a、c的比例中项，可知b2=ac，再由b=与a=1，即可求出线段c的长.
答案　因为线段b是线段a、c的比例中项，所以b2=ac.
因为 a=1, .
经验技巧：利用b2=ac解答.
[习题·解疑]
　　随堂练习(课本第100页)
　　1．略．
　　习题4、3(课本第102页)
　　1．可先作出一条线段的黄金分割点，再以此作出一个黄金矩形.
　　2．因为B、C是线段AB的黄金分割点，
所以.
所以 （cm）.
[自主·评价]
基　础 题
　　1．为了美观大方，建筑师们常常把　　　　 比作为门窗的宽与长的比例.
　　2．若点C是线段AB上一点，且AC 2＝AB·BC，则线段AB被点C　　　 ，点C叫做AB的　　　 ，AC=　　　 ，AC≈　　　　AB.
3．已知线段AB的长度是a（a>0），点C是线段AB上的一点，线段AC的长是线段AB与CB的长的比例中项，则线段AC的长为　　　　　 .
（注：若线段a、b、c满足），则称线段b为线段a、c的比例中项）
4．若把长为10 cm 的线段黄金分割，则其中较短线段的长度是（　　）.
A．cm　　　　　　　B. （10）cm
C．（15-）cm　　　　　 D. （15-10）cm
5．如图，扇子的圆心角为，，余下扇形的圆心角为y，x；与y的比通常按黄金比来设计．这样的扇子外形较美观，若取黄金比为0.6，则x为（　　　 ）.
A．216°　　　　　　　　　 B. 135°
C．120°　　　　　　　　　 D. 108°
拓　展　题
　　6．已知线段AB＝2，在AB上有一点C，如果BC＝，那么点C是线段AB的黄金分割点，试说明理由．
　　7．已知M是线段AB的黄金分割点，且AM>BM.
　　(1)写出AB、AM、BM之间的比例式；
　　(2)如果AB＝12 cm，求AM与BM的长．
8．已知AB＝4，点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，求下列各式的值：
（1）AC-BC；（2）AC-BC；（3）AC：BC.
[资料·交流]
设问听课法
　　设问听课法是指上课前和上课中通过设问集中自己的注意力，提高听课质量的方法．数学家张广厚上中学时为了学好当时认为枯燥乏味的数学课，便经常在老师上课之前，先给自己提出几个问题，然后再在老师的讲解中寻找答案．这样，上课注意力集中了，听得懂了，记得牢了，越学越感到有兴趣，再也不感到枯燥乏味了．此法应该在预习的基础上进行．


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