数学教案－正多边形和圆

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教学设计示例3

　　教学目标：

　　（1）巩固正多边形的有关概念、性质和定理；

　　（2）通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力；

　　（3）通过例题的研究，培养学生的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识．

　　教学重点：

　　综合运用正多边形的有关概念和正多边形与圆关系的有关定理来解决问题，要理解通过对具体图形的证明所给出的一般的证明方法，还要注意与前面所学知识的联想和化归．

　　教学难点：综合运用知识证题．

　　教学活动设计：

　　（一）知识回顾

　　1．什么叫做正多边形？

　　2．什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？

　　3．正多边形有哪些性质？(边、角、对称性、相似性、有两圆且同心)

　　4．正n边形的每个中心角都等于 ．

　　5．正多边形的有关的定理．

　　（二）例题研究：

　　例1、求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形．

　　已知：如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，边AB、BC、CD、DE、EA与⊙O分别相切于A’、B’、C’、D’、E’．

　　求证：五边形ABCDE是正五边形．

　　分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可．

　　 教师引导学生分析，学生动手证明．

　　证法1：连结OA、OB、OC，

　　∵五边形ABCDE外切于⊙O．

　　∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，

　　又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．

　　∴∠BAO=∠OCB．

　　又∵OB=OB

　　 ∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理  BC=CD=DE=EA．

　　∴五边形ABCDE是正五边形．

　　证法2：作⊙O的半径OA’、OB’、OC’，则

　　OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．

　　∠B=∠C ∠1=∠2 = ．

　　同理  = = = ，

　　即切点A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分点．所以五边形ABCDE是正五边形．

　　 反思：判定正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理1来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点．由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切n边形是正边形”．

　　 此外，用正多边形与圆的关系定理1中“把圆n等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接n边形是正n边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。

　　拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．

　　求证：五边形ABCDE是正五边形．（证明略）

　　分小组进行证明竞赛，并归纳学生的证明方法．

　　拓展2：已知：如图，同心圆⊙O分别为五边形ABCDE内切圆和外接圆，切点分别为F、G、H、M、N．

　　求证：五边形ABCDE是正五边形．（证明略）

　　学生独立完成证明过程，对B、C层学生教师给予及时指导，最后可以应用实物投影展示学生的证明成果，特别是对证明方法好，步骤推理严密的学生给予表扬．

　　例2、已知：正六边形ABCDEF．

　　 求作：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆．

　　作法：1过A、B、C三点作⊙O．⊙O就是所求作的正六边形的外接圆．

　　2、以O为圆心，以O到AB的距离(OH)为半径作圆，所作的圆就是正六边形的内切圆．

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　　用同样的方法，我们可以作正n边形的外接圆与内切圆．

　　练习：P161

　　1、求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形．

　　2、(口答)下列命题是真命题吗?如果不是，举出一个反例．

　　(1)各边相等的圆外切多边形是正多边形；

　　(2)各角相等的圆内接多边形是正多边形．

　　3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圆与内切圆．

　　（三）小结

　　知识：复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法．

　　能力与方法：重点复习了正多边形的判定．正多边形的外接圆与内切圆的画法．

　　（四）作业

　　教材P172习题4、5；另A层学生：P174B组3、4．

探究活动

　　折叠问题：（1）想一想：怎样把一个正三角形纸片折叠一个最大的正六边形．

　　（提示：①对折；②再折使A、B、C分别与O点重合即可）

　　（2）想一想：能否把一个边长为8正方形纸片折叠一个边长为4的正六边形．

　　（提示：可以．主要应用把一个直角三等分的原理．参考图形如下：

　　①对折成小正方形ABCD；

　　②对折小正方形ABCD的中线；

　　③对折使点B在小正方形ABCD的中线上（即B’）；

　　④则B、B’为正六边形的两个顶点，这样可得满足条件的正六边形．）

 

　　探究问题：

　　（安徽省20xx）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：

　　甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；

　　乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形．如图一，△ABC是正三角形,    形， = = ，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形；

　　丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形．我想，边数是7时，它可能也 是正多边形．

　　(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等．

　　(2)请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图二)是正七边形(不必写已知、求证)．

　　(3)根据以上探索过程，提出你的猜想(不必证明)．

　　（1）[说明]

　　（2）[证明]

　　（3）[猜想]

　　解：（1）由图知∠AFC对 ．因为 = ，而∠DAF对的 = + = + = ．所以∠AFC=∠DAF．

　　同理可证，其余各角都等于∠AFC．所以，图1中六边形各内角相．

　　（2）因为∠A对 ，∠B对 ，又因为∠A=∠B，所以 = ．所以  = ．

　　同理 = = = = = = ．所以　七边形ABCDEFG是正七边形．

　　猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，……时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形．

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