数学教案－正多边形和圆

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教学设计示例1

　　教学目标：

　　（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；

　　（2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；

　　（3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．

　　教学重点：

　　正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理．

　　教学难点：

　　对定理的理解以及定理的证明方法．

　　教学活动设计：

　　（一）观察、分析、归纳：

　　观察、分析：1．等边三角形的边、角各有什么性质？

　　2．正方形的边、角各有什么性质？

　　归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．

　　教师组织学生进行，并可以提问学生问题．

　　（二）正多边形的概念：

　　（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．

　　（2）概念理解：

　　①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）

　　②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？

　　矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．

　　（三）分析、发现：

　　问题：正多边形与圆有什么关系呢？

　　发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．

　　分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？

　　（四）多边形和圆的关系的定理

　　定理：把圆分成n(n≥3)等份：

　　(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；

　　(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．

　　我们以n=5的情况进行证明．

　　已知：⊙O中， = = = = ，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线．

　　求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；

　　（2）五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．

　　证明：（略）

　　引导学生分析、归纳证明思路：

　　弧相等

　　说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形．

　　(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．

　　(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．

　　（五）初步应用

　　P157练习

　　1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么?

　　2．求证：正五边形的对角线相等．

　　3．如图，已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形．

　　（六）小结：

　　知识：（1）正多边形的概念．（2）n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．

　　能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力

　　（七）作业 教材P172习题A组2、3．
教学设计示例2

　　教学目标：

　　（1）理解正多边形与圆的关系定理；

　　（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；

　　（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；

　　（4）通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；

　　教学重点：

　　理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理．

　　教学难点：

　　对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．

　　教学活动设计：

　　（一）提出问题：

　　问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？

　　（二）实践与探究：

　　组织学生自己完成以下活动．

　　实践：1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？

　　2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？

　　探究1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系？

　　探究2：（1）正方形有外接圆吗？若有外接圆的圆心在哪？(正方形对角线的交点．)

　　（2）根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？

　　（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？

　　（三）拓展、推理、归纳：

　　（1）拓展、推理：

　　过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD．

　　

　　   同理，点E在⊙O上．

　　所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．

　　因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切．可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆．

　　（2）归纳：

　　正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上

　　 它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径．

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　　 其他两个顶点到圆心的距离都等于半径．

　　 正五边形的各顶点共圆．

　　 正五边形有外接圆．

　　 圆心到各边的距离相等．

　　 正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离．

　　照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆．

　　定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．

　　正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于 ．

　　（3）巩固练习：

　　1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．

　　2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．

　　3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．

　　4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．

　　（四）正多边形的性质：

　　1、各边都相等．

　　2、各角都相等．

　　观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？

　　3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．

　　4、边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

　　5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．

　　以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习精神．

　　（五）总结

　　知识：（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；

　　（2）正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质．

　　能力：探索、推理、归纳等能力．

　　方法：证明点共圆的方法．

　　（六）作业  P159中练习1、2、3．

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