北师大版数学九年级《直角三角形》教学设计之三

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直角三角形
【探究目标】
1．目的与要求　能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．
2．知识与技能　能根据直角三角形中的角角关系、边边关系、边角关系解直角三角形，能运用解直角三角形的知识解决有关的实际问题．
3．情感、态度与价值观　通过解直角三角形的应用，培养学生学数学、用数学的意识和能力，激励学生多接触社会、了解生活并熟悉一些生产和生活中的实际事物．

【探究指导】
教学宫殿
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图19—46：

角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B＝90°；
边边关系：勾股定理，即；
边角关系：锐角三角函数，即

解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．
用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：

把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．
借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．
当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．
在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，如没有特殊要求外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′．

例1　在△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形．
(1)c＝10，∠B＝45°，求a，b，∠A；
(2)，求c，∠A，∠B
思路与技巧　求解直角三角形的方法多种多样，如(1)可以先求a或b，也可以先求∠A，依据都是直角三角形中的各元素间的关系，但求解时为了使计算简便、准确，一般尽量选择正、余弦，尽量使用乘法，尽量选用含有已知量的关系式，尽量避免使用中间数据．
解答　(1)∠A＝90°-45°＝45°


(2)
所以


例2　如图19—47，CD是Rt△ABC斜边上的高，，,求AC，AB，∠A，∠B(精确到1′)．

思路与技巧　在Rt△ABC中，仅已知一条直角边BC的长，不能直接求解．注意到BC和CD在同一个Rt△BCD中，因此可先解这个直角三角形． 
解答　在Rt△BCD中


用计算器求得　∠B＝54°44′
于是∠A＝90°-∠B＝35°16′
在Rt△ABC中，


例3　气象台测得台风中心在某港口A的正东方向400km处，正在向正西北方向转移，距台风中心300km的范围内将受其影响，问港口A是否会受到这次台风的影响?
思路与技巧　如图19—48，就是要求出A到台风移动路线BC的距离是否大于300km，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，AB＝400km，是AC可求．

解答　在Rt△ABC中，
由于
所以AC＝AB·sin∠ABC＝400×sin45°

所以港口A将受到这次台风的影响．

例4　如图19—49，两幢建筑物的水平距离为56．5m，从较高的建筑物的顶部看较低的建筑物的底部的俯角是42°，从较低的建筑物的顶部看较高建筑物顶部的仰角是22°，求这两幢建筑物的高度(精确到0．1m)．

思路与技巧　如图19—49，AB、CD表示两幢建筑物，AB⊥BD，CD⊥BD，BD＝56．5m，根据俯角、仰角的意义，∠DAE＝42°，∠ACF＝22°，于是Rt△ABD、Rt△ACF都可解．
解答　在Rt△ABD中，
∠ADB＝∠DAE＝42°
BD＝56.5(m)
AB＝BD·tan∠ADB
＝56.5×tan42°
≈50.9(m)
在Rt△ACF中，
AF＝CF·tan∠ACF
=56.5×tan22°
≈22.8(m)
所以CD＝AB-AF
＝28.1(m)
答：两幢建筑物的高度分别为50.9m，28.1m．

例5　如图19—50，沿水库拦水坝的背水坡，将坝顶加宽2m，坡度由原来的1：2改为1：2．5，已知坝高6m，坝长50m求：
(1)加宽部分横断面AFEB的面积；
(2)完成这一工程需要多少土方?

思路与技巧　只须求出梯形AFEB的下底EB的长，作AG⊥BC，FH⊥EB，垂足分别为G、H，根据坡度的意义，可以求出坡AB、坡EF的水平长度．
解答　(1)作AG⊥BC，FH⊥EB，垂足分别为G、H，由题意得
HG＝AF＝2(m)．AG＝FH＝6(m)
在Rt△ABG中，因为

所以BG＝2×6＝12(m)
在Rt△FEH中，因为

所以EH＝2．5×6＝15(m)
所以EB＝EH+HG-BG＝15+2-12＝5(m)
所以

答：加宽部分横断面AFEB的面积为，完成这一工程需要1050方土．

例6　海上有两条船，甲船在乙船的正南方向，甲船以每小时40海里的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿正东方向以每小时20海里的速度航行，问两船会不会相撞?为什么?
思路与技巧　根据题意画出图形，如图19—51，可知甲、乙两船的路线可能会成为直角三角形中60°所对的直角边和斜边，两船同时出发，在相同的时间内所走路程的比如果正好等于60°的正弦就会相撞，否则不会．

解答　如图19—51，因为乙船的速度为每小时20海里，甲船的速度为每小时40海里，所以乙船与甲船所走路程的比为1：2．
又
所以不会发生相撞．

例7　某市为改变城市交通状况，在大街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB．在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3m远的D点测得树的顶部A点的仰角为60°，树的底部B的仰角为30°，如图19—52，问距离B点8m远的保护物是否在危险区内?

思路与技巧　本题的实质是要计算大树的高度，如果大于8m，说明保护物在危险区内，否则不在．由于大树不在哪一个直角三角形中，根据条件，过C作CE⊥AB，则可把AB放在Rt△ACE和Rt△BCE中进行求解．
解答　过C作CE⊥AB，垂足为E.
由题意可知，CE＝DB＝3m
在Rt△CEB中，

在Rt△ACE中，

所以AB＝AE+BE＝5.196+1.732＝6.928(m)＜8(m)
所以距离B点8m远的保护物不在危险区域内．

【探究活动】
提出问题　运用解直角三角形的知识可以解斜三角形(锐角三角形或钝角三角形)吗?
探究准备　锐角△ABC(已知b，a和∠C)．钝角△ABC(已知∠A，c，∠B)(∠A，∠B，∠C的对边为a，b，c)如图19—53．

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探究过程　直角三角形中的边边关系、角角关系、边角关系是解直角三角形的依据，它们只有在直角三角形中才成立，因此要想用它们来解斜三角形，必须把斜三角形转化为直角三角形，转化的方法一般是作高，如图19—53甲可以作AD⊥BC于D，这样构造了两个直
角三角形Rt△ABD和Rt△ACD，Rt△ACD中，CD＝cos∠C，AD＝sin∠C，因为BC＝a，所以BD＝-cos∠C，在Rt△ABD中，，得出∠B，进而求出∠A＝180°-∠B-∠C，
同样方法，图19—53乙中，可以过C作CD⊥AB于D，先解Rt△ACD．再解Rt△CDB．
探究评析　“化斜为直”是运用解直角三角形的知识解斜三角形的根本方法，其做法是通过作斜三角形的一条高，把斜三角形化为两个直角三角形，再根据条件分别在两个直角三角形中做文章．

例8　如图19—54，公路上A、B两处相距lkm，测得城镇C在A处的北偏东35°方向，在B处的北偏西40°方向．求城镇C到A处、B处的距离分别是多少?

思路与技巧　弄清楚两个方向角是解决问题的第一步，根据题意∠1＝35°，∠2＝40°,AB＝lkm，发现△ABC不是直角三角形，故通过“化斜为直”转化，作CD⊥AB于D，如图19—55，则∠ACD＝∠l＝35°，∠BCD＝∠2＝40°，但是Rt△ACD与Rt△BCD都无法直接求解，因而可利用CD是这两个直角三角形的公共边以及AD+DB＝AB＝lkm的条件，设法列方程求解．

解答　作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x
则在Rt△ACD中，
AD＝x·tan∠ACD＝x·tan35°
在Rt△CDB中，
BD＝x·tan∠BCD＝x·tan40°
因为AD+BD＝AB＝1
所以x(tan35°+tan40°)＝1
x＝1÷(tan35°+tan40°)≈0．6496(km)
于是
答：城镇C到A处的距离约是0．793km，到B处的距离约是0．848km．

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