数学七年级购物策略与包装的学问

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专题：购物策略与包装的学问
 
知识目标：
1. 面对购物中各种不同的优惠策略，学会通过计算，比较作出最优选择。
2. 通过对各种不同的包装形式的分析，表面积的计算，比较，能找到最省包装纸的包装方法。
 
能力目标：
1. 培养学生对不同的实际问题的分析，计算，比较的能力。
2. 培养学生画立体图形的能力
 
情感目标：
通过运用数学知识解决身边生活中的实际问题，感受数学的重要性。
 
知识要点：
1. 比较常见的优惠策略：
⑴打折
⑵买一赠一
⑶有奖销售
⑷赠购物券
⑸限额，限量优惠
2. 包装的学问这一节的实质：就是如何摆放物体最后使整体的表面积最小的问题。
3. 规范解题的思路和书写过程：
凡是题中最后提到一个“最”字的，如最省钱，最省包装纸，等等，在思考问题和书写解题过程时一般要坚持“有计算，有比较，有选择”的原则。
 
【例题分析】
例1：为了促销同一品牌的巧克力，其中大块500克，售价18元；小块100克，售价3元。国庆期间三家超市打出“促销优惠大酬宾”的招牌，分别推出了优惠策略。
甲超市：买一大块巧克力，送一小块巧克力；
乙超市：此新品牌的巧克力一律按八五折优惠；
丙超市：累计达到30元，超过部分按八折优惠。
⑴要买两大块巧克力和两小块巧克力，去哪个超市较为合算？为什么？
⑵要买六块大巧克力和六块小巧克力，去哪个超市合算？为什么？
分析：这是一个面对不同的超市推出的不同的优惠策略，作为一个消费者如何选择的问题。那么如何选择呢？就要根据消费者购买巧克力的多少，分别计算出三家超市的钱数进行比较，根据比较的结果作出最后的选择，所以在书写解题过程时一定要坚持“有计算，有比较，有结论”的原则。
解：⑴甲超市：18×2=36（元）
乙超市：（18+3）×2×0.85=35.7（元）
丙超市：（18+3）×2=42（元）
∵35.7＜36＜42　　　　∴去乙超市较为合算
⑵甲超市：18×6=108（元）
乙超市：（18+3）×6×0.85=107.1（元）
丙超市：［（18+3）×6-30］×0.8+30=106.8（元）
∵106.8＜107.1＜108　　　　∴去丙超市较为合算
 
例2：有四种规格的蜂蜜：每瓶200克的3元，每瓶300克的4.4元，每瓶500克的7元，每瓶1000克的13元。
⑴要买900克的蜂蜜有多少种买法？
⑵要买1200克的蜂蜜最少应花多少钱？
分析：由于蜂蜜的规格不一样，所以要购买一定数量的蜂蜜可能有多种不同的买法，这里面体现了“穷举法”的思想，也就是说一件事情可能有许多种情况都要一一列举出来，作到不重不漏。对于第二问提到花钱最少，那么就要把各种买法所花的钱数都算出来，通过比较得出结论。
解：⑴要买900克蜂蜜可以有下列3种买法：
①2瓶200克和1瓶500克
②3瓶200克和1瓶300克
③3瓶300克
⑵要买1200克蜂蜜可以有下列五种买法：
①1瓶200克和2瓶500克
3+7×2=17（元）
②1瓶200克和1瓶1000克
3+13=16（元）
③2瓶200克和1瓶300克和1瓶500克
3×2+4.4+7=17.4（元）
④3瓶200克和2瓶300克
3×3+4.4×2=17.4（元）
⑤6瓶200克
3×6=18（元）
⑥4瓶300克
4.4×4=17.6（元）
∵16＜17＜17.4＜17.6＜18
∴买1瓶200克和1瓶1000克花钱最少，最少花16元。
注意：
1. 题中说的“要买900克”的意思是说必须买900克，不能多买，也不能少买。
2. 在列举不同的买法时最好按照一定的顺序，这样容易作到不重不漏。
3. 通过本例同学们不难发现对于不同包装的商品大包装的要比小包装的商品单价低,所以要想省钱应该尽量多的购买大包装的商品较合算,以后解题时要注意应用这一规律。
 
例3：太阳岛公园的门票是每位10元，20人以上（含20人）的团体票8折，现有18人应该买普通票还是买20人的团体票？
分析：这道题是一道限额优惠的题目，把额度限定在20人以上，只有达到了这个人数才能享受到8折优惠，目的是鼓励团体多人消费。
解：普通票：18×10=180（元）
团体票：20×10×0.8=160（元）
∵180＞160　　　　∴应该购买团体票。
 
例4：小王和小李是邻居，一个月里两人去同一家商店买各买了两次酱油，两次价格分别为3元/斤和2元/斤，其中小王每次买一斤，小李每次只买1元钱，问哪种购买方式合算？
分析：那种购买方式合算，只要比较一下两个人购买的酱油的单价就可以了。
解：小王买的酱油的单价：（3+2）÷2=2.5（元/斤）
小李买的酱油的单价：（1+1）÷（1/3+1/2）=2.4（元/斤）
∵2.4＜2.5　　　　
∴小李的购买方式合算。
 
例5：“五一”期间，由某校4位教师和若干名学生组成的旅游团到牡丹江镜泊湖去旅游，甲旅行社用餐收费标准是：如果买4份全餐费，则其余人按七折优惠；乙旅行社的收费标准是：5人以上（含5人）用餐可按原价的八折优惠。这两家旅行社的全餐价格均为每人300元。问：若有10名学生参加旅游，应该选哪家旅行社在用餐方面更省钱？
分析：这是一个面对不同的优惠策略如何选择的问题，这种类型题近几年在中考中经常出现同学们应该引起重视，那么到底选择哪家旅行社是由参加旅游的人数决定的，所以应该根据具体的人数经过计算，比较得出结论。
解：甲旅行社：300×4+300×0.7×10=3300（元）
乙旅行社：300×0.8×14=3360（元）
∵3300＜3360　　　　∴应选甲旅行社在用餐方面更省钱。
注意：在计算人数时不要忘了要把4名教师加进去，这一点容易出错，要小心。
 
例6：由3个同样的长为1厘米，宽为2厘米，高为3厘米的小长方体，拼成一个大长方体，可能有几种不同的拼法？如果用包装纸把他们包起来，哪种情况最省包装纸？
分析：大家很容易想到3种常见的拼法，但是不是只有着3钟拼法呢？经过尝试我们注意到每个小长方形的长、宽、高的尺寸，不难发现还有一种特殊的拼法。那就是把其中的两个长方形横着上下拼在一起，另一个竖者拼在一起。至于用包装纸把它们包起来，表面积最小的那一个应该最省包装纸。
解：

　　表面积：（6×3+3×1+1×6）×2=54

表面积：（2×9+2×1+9×1）×2=58

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表面积：（2×3+3×2+3×3）×2=42

　　表面积：（2×3+3×2+3×3）×2=42
∵42＜46＜58　　　　∴图3和图4最省包装纸。
注意：要想让最后的大长方体表面积最小，就要让最大的面尽量多的重合。
 
例7：将12盒火柴包成一包，火柴盒长5，宽3 ，厚1。怎样包最节省包装纸？
分析：本题中12盒火柴包成一包，怎样包最省包装纸？这个问题就比较复杂了，因为包装的方法比较多。下面我讲一种数学的方法来尽快的找到不同的包法：首先，把12分解因数：先分解成两个数的积（可以看成二维的）12=1×12=2×6=3×4，然后再分解成三个数的积（可以看成三维的）：12=2×2×3。这样从大体上我们得到4大类不同的包法；其次在每类大的包法里面又有几种小的不同包装方法，这时我们注意到通过上一个题已经得出的结论：几个小长方体拼成一个比较大的长方体，只要尽量多的让最大的面重合，那么拼成的大长方体的表面积就会越小。由此对于每类大的包装方法里的各种小的包装方法我们不必要一一列举出来，我们只要根据以上结论，通过理智的数学分析找到每类大的方法里面，哪种小的包装方法最省包装纸即可。具体可以这样做：在火柴盒最多的那一行中让最大面重合，其次在不同的两行之间让第二大的面重合，这样就作到了尽量多的让最小面漏在了外面，那么这种包法的表面积一定是这类大的包法里面最小的。例如：2×6这种包法，我们看成是2行6列，在每一行的6盒火柴让最大面重合，然后在两行之间让第二大的面重合，这种包法一定是2×6这种包法里最省包装纸的包法。
所以综上所述，对于本题的解法我们只要分别找到4类不同的包法中表面积最小的四种不同的包装方法，然后比较它们表面积的大小即可得出结论。
解：∵12=1×12=2×6=2×6=2×2×3　　　　
∴一共有4类不同的包法。
∵尽量多的让最大面重合，包装后的物体表面积最小
∴有4中情况：

表面积最小图形：1×12
最小表面积：（12×5+12×3+5×3）×2=222

表面积最小图形：2×6
最小表面积：（6×5+6×6+6×5）×2=192

表面积最小图形：3×4
最小表面积：（4×5+4×9+9×5）×2=202

表面积最小图形：2×2×3
最小表面积：（3×10+3×6+6×10）×2=216
∵192＜202＜216＜302　　　　∴如图按照第二种包法最省包装纸.
题后反思：通过观察我们发现，包装后的立体图形哪一种越是接近正方体，哪一种包装方法越省包装纸。另外通过以上2个例题的讲解同学们发现画立体图形是我们应会的重要能力。

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